\small \mathbb {Wr{\bf itten\space by}\space AGRK{\bf xxf}}.

考虑一个做匀速圆周运动的物体依次经过 A,B 两点(如图).

物体在这两点上的速度方向为切线方向，平移后利用几何关系可以得出 v_A 与 v_B之间的夹角为 \theta .由于物体匀速圆周运动，因此 v_A 与 v_B 的大小相等，设之为 v .现在，尝试求出 \Delta v.

在右侧 {\rm Rt}\triangle PRQ 中，有 \displaystyle\frac{\Delta v}2=v\sin\frac{\theta}2，即 \displaystyle\Delta v=2v\sin\frac{\theta}2，那么，依 \displaystyle a=\frac{\Delta v}{\Delta t}，有：

\displaystyle\begin{aligned} a&=\frac{\Delta v}{\Delta t}\\&=\frac {v\omega}{\theta}\cdot2\sin\frac{\theta}2 {\color{Blue}\small\dots\dots\left(\frac1{\Delta t}=\frac\omega \theta\right)} \\&=\frac {v\omega}{\theta}\cdot\left[\theta+o(\theta)\right] {\color{Blue}\small\dots\dots\left(2\sin\frac\theta2=\theta+o(\theta)\space\space(\theta\to0)\right)}\\&=v\omega + \frac {v\omega}{\theta}o(\theta)\\&\to v\omega\space\space(\Delta t=\frac\theta2\to 0). \end{aligned}

分别代入 v=\omega r 和 \displaystyle\omega=\frac vr，就可以得到：

\Large\color{red}\boxed{\begin{aligned}a &= \omega^2r;\\a&=\frac{v^2}r.\end{aligned}}

完.

\mathbb{THANKS\space FOR\space READING}.