_{本文由AGRKxxf编写, 非YRLHappy.}

我们有如下关于实数系连续性的定理：

1. 确界原理（及与之等价的 $\text{Dedekind}$ 分割定理）；

2. 单调有界定理；

3. 闭区间套定理；

4. 有限覆盖定理；

5. 聚点原理（及其推论$\mathrm{Bolzano-Weierstrass}$ 定理）；

6. $\text{Cauchy}$ 收敛准则和实数系的 $\text{Archimedes}$ 性质（及与前者等价的 $\text{Banach}$ 不动点定理）.

接下来，我们将依次介绍这些定理，并给出其等价性的证明.

_{注：本文中的“数集”一词均指由一族实数组成的集合，即 $\R$ 的子集，记号 $A\sub B$ 表示前者是后者的真子集，本文中的“单调性”指的是“不严格的单调性”，因此 $f(x)\equiv1$ 也是单调上升的函数.}

_{本文参考了各大《数学分析》教材.}

确界原理

定义 对于 $\mathbb R$ 的子集 $E$ ，若存在实数 $M$ 满足 $\forall x\in E,\;x\le M$ ，则称集合 $E$ 有上界 $M$ ；下界的定义同理.若一个集合既有上界又有下界，则称该集合有界.

定义 称集合 $E$ 的全体上界中的最小者为 $E$ 的上确界（记为 $\sup E$ ），下确界（记为 $\inf E$ ）的定义同理.

确界原理 对于任意非空有上（下）界数集 $E$ ，其必有上（下）确界.

下给出与之等价的 $\text{Dedekind}$ 分割定理，在此之前，先来介绍分划的定义.

定义 对于一个非空且其元素间有大小关系（大于、小于或等于三者仅居其一）的集合 $E$ ，若集合 $S\cup T=E$ ，满足下述条件：

• $S\cap T=\varnothing$ ；

• 对 $\forall s\in S,\;t\in T$ ，总有 $s<t$ ，且 $\exist \sigma\in S$ 使 $s<\sigma$ （即 $S$ 中的元素 总比 $T$ 中的小，且 $S$ 中没有最大元素）；

我们就称这样的集合 $S,T$ 构成了 $E$ 的一个分划 $(S|T)_E$ .

容易看出，对于 $\mathbb Q$ 的任意分划 $(S|T)_{\mathbb Q}$ ，若 $T$ 中有最小元素，则 $(S|T)_{\mathbb Q}$ 实际上和有理数一一对应；于是类似地将 $T$ 中没有最小元素的分划 $(S|T)_{\mathbb Q}$ 定义为无理数，并规定其大小关系和运算规则等等（碍于篇幅有限，此处从略），记 $\mathbb R=\{\mathbb Q的分划(S|T)_{\mathbb Q}\}$ 为全体实数组成的集合.

$\text{Dedekind}$ 分割定理 $(1')$ 对于 $\mathbb R$ 的任意分划 $(S|T)_\R$ ， $T$ 中总是有最小元素.

证明：

先证明 $1'\Rightarrow1$ ，这里只给出有上界的情况下的证明，有下界的情况是类似的. 设 $E$ 是一个非空有上界的数集，不妨设其无最大者，否则取其最大者 $M=\max E$ 即满足 $M=\sup E$ ，于是在这样的假设下，其上界组成一个非空集合 $T$ ，取 $S=\{\sigma\in\mathbb R:\sigma\notin T\}$ ，显然满足 $S\cup T=\R$ ， $S\cap T=\varnothing$ . 现证明如下几点性质：

1. $S$ 中没有最大者；

2. 对 $\forall s\in S,\;t\in T$ ，总有 $s<t$ .

这二者可以容易地同时证明出，对于任意 $\underline{\tau\in T}$ ， $\underline{\varepsilon\in E}$ ，必有 $\varepsilon\le\tau$ ，更进一步地，可以证明 $\underline{\varepsilon<\tau}$ . 事实上，若不然，则 $\varepsilon\in T=\{\tau:\tau\ge\Epsilon,\forall\Epsilon\in E\}$ ，这就与 $E$ 中无最大者相矛盾. 进而由 $S\cup T=\R$ 可知 $E\sub S$ 必然成立. 接着，若任取一个 $s\in S$ ，则必然有一个 $\varepsilon\in E$ ，使 $\varepsilon>s$ 成立. 进而由 $E\sub S$ 知 $1$ 成立，再由本段的下划线结论可知 $2$ 成立. 综上，集合 $S$ 和 $T$ 构成了 $\R$ 的一个分划. 依 $\text{Dedekind}$ 分割定理 $(1')$ 知，存在 $\Tau=\min T$ 使 $\Tau$ 成为 $E$ 的上确界.

接下来，我们证明 $1\Rightarrow1'$ ，设集合 $S$ 和 $T$ 构成 $\R$ 的一个分划，现在证明 $T$ 有最小者. 由分划的定义，我们知道 $T$ 中的所有元素都是 $S$ 的上界. 更进一步还可断言 $S$ 没有其它的（不在 $T$ 中的）上界了. （事实上，若不然，则这一上界 $s$ 既然不属于 $T$ ，那么必然属于 $S$ ，这与 $S$ 中的元素无最大者相矛盾）依确界原理， $S$ 有最小上界 $\varsigma=\min T$ . $\square$

单调有界定理

单调有界定理 若序列 $\{x_n\}$ 单调上升（下降），且有上（下）界，则序列 $\{x_n\}$ 收敛.

其中序列定义为：设一个函数 $f:\N_+\to\R$ ，称 $\{x_n=f(n):n=1,2,3,\cdots\}$ 是一个序列. 值得注意的是，尽管都记作 $\{x_n\}$ ，但集合 $\{x_n\}$ 与序列 $\{x_n\}$ 有差别，后者是按照 $n\in\N_+$ 从小到大的顺序排列的，且允许有重复项. 序列的单调性定义为相应的函数 $f(n)$ 的单调性，序列的有界性定义为相应的函数 $f(n)$ 的有界性.

而若存在一个实数 $A$ ，使得序列 $\{x_n\}$ 满足对于任意 $\varepsilon>0$ ， $\exists N\in\N_+$ ，只要正整数 $n>N$ ，就有 $|x_n-A|<\varepsilon$ ，则称序列 $\{x_n\}$ 收敛，以 $A$ 为极限；反之称序列 $\{x_n\}$ 发散.

$1\Rightarrow2$ 的证明：

这里仅证明序列 $\{x_n\}$ 单调上升有上界的情形，对于单调下降有下界的情形，证明是类似的.

由于序列 $\{x_n\}$ 单调上升，可得对任给的正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时有

$x_N\le x_n$.

由于 $\{x_n\}$ 有上界，则数集 $\{x_n\}$ 有上确界，记为 $M=\sup E$ ，由于 $M$ 是 $\{x_n\}$ 全体上界中的最小者，因此对于 $\forall\varepsilon>0$ ， $M-\varepsilon$ 均非 $\{x_n\}$ 的上界，即 $\exists N\in\N_+,x_N>M-\varepsilon$ ，因此当 $n>N$ 时，有

$M-\varepsilon<x_N\le x_n\le M<M+\varepsilon$，

也即

$|x_n-M|<\varepsilon$.

这表明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=M=\sup E$ 成立. $\square$

为了后文叙述方便，我们来证明序列极限的一个性质.

保序性 设序列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 分别收敛于 $x$ 和 $y$ ，且存在一个 $N\in\N_+$ ，当正整数 $n>N$ 时，就总有

$x_n\ge y_n,$

那么必然有

$x\ge y.$

证明

考虑用反证法证明，倘若命题不真，则 $y>x$ ，则对 $\varepsilon_0=\dfrac{y-x}2>0$ ， $\exist N_1\in\N_+$ ，当 $n>N_1$ 时，有

$x_n-x<\dfrac{y-x}2,$

$y-y_n<\dfrac{y-x}2,$

将上述两式相加，化简有

$x_n<y_n,$

取一个正整数 $n>\max\{N,N_1\}$ ，发现上式和 $x_n\ge y_n$ 同时成立，矛盾. $\square$

闭区间套定理

设一列闭区间 $\{[a_n,b_n]\}$ 满足$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n],\;n=1,2,3,\cdots$ ，则 $\{a_n\},\;\{b_n\}$ 均收敛（分别记其极限为 $a,\;b$ ），且有

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=\{x:a\le x\le b\}$ .

特别当 $a=b$ 也即 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$ 时，有

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=a=b$ ，

即存在唯一正实数 $\xi$ ，使 $\xi\in[a_n,b_n],\;n=1,2,3,\cdots$ . 此即闭区间套定理.

$2\Rightarrow3$ 的证明：

由 $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n],\;n=1,2,3,\cdots$ ，知 $\{a_n\}$ 单调上升， $\{b_n\}$ 单调下降，且 $a_n<b_n$ ，这表明 $\{a_n\}$ 单调上升有上界（ $b_1$ 即其上界之一）， $\{b_n\}$ 单调下降有下界（ $a_1$ 即其下界之一），因此二者均收敛，分别记其极限为 $a,\;b$ .

依极限的保序性有

$a_n\le a=\sup\{a_n\}\le\inf\{b_n\}=b\le b_n$ .

这表明 $\forall a\le x\le b,\;a_n\le a\le x\le b\le b_n\;(n\in\N_+)$ .

若另有 $a_n\le\xi\le b_n,\;(n\in\N_+)$ ，则 $a\le\xi\le b$ . 这就证明了

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=\{x:a\le x\le b\}$ .

若另给条件 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$ ，则有 $a=b$ ，即

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=a=b$ . $\square$

有限覆盖定理

定义 对于数集 $E$ ，若有一族开区间 $\{(a_n,b_n)\}_{n\in N}$ 满足

$\displaystyle E\subseteq\bigcup_{n\in N}(a_n,b_n)$

（其中 $N$ 是一个指标集， $N\subseteq\N$ ），则称 $\{(a_n,b_n)\}_{n\in N}$ 是 $E$ 的一个开覆盖. 若 $\{(a_n,b_n)\}_{n\in N}$ 还是一个有限集合（即其中只有有限个元素），则称之为 $E$ 的有限开覆盖.

有限覆盖定理 若 $[a,b]$ 有开覆盖 $\mathcal F=\{(\xi_n,\eta_n)\}_{n\in N}$ ，则其中必然存在有限个开区间组成的集合，使它亦为 $[a,b]$ 的开覆盖，即存在 $[a,b]$ 的有限开覆盖 $\mathcal F' =\{(\xi_1,\eta_1),\cdots,(\xi_n,\eta_n)\}$ 使 $\mathcal F'\sub\{(\xi_n,\eta_n)\}_{n\in N}$ .

$3\Rightarrow4$ 的证明：

用反证法证明，倘若不然，对任意 $\mathcal F$ 的有限子集 $\mathcal F'$ ，将 $[a,b]$ 二等分成两个闭区间，则其中必然至少有一者不能被 $\mathcal F'$ 覆盖，记之为 $[a_1,b_1]$ ；再继续将 $[a_1,b_1]$ 二等分，则其中必然至少有一者不能被 $\mathcal F'$ 覆盖，记之为 $[a_2,b_2]$ ……以此类推，我们就得到了一列闭区间 $\{[a_n,b_n]\}$ ，满足：

• $[a_n,b_n]\sub[a_{n-1},b_{n-1}],\;\forall n\in\N_+$ ；

• $b_n-a_n\to0\;(n\to\infty)$ （因为 $[a_n,b_n]$ 是由 $[a,b]$ 经过若干次二等分得到的）；

• $\mathcal F$ 的任意有限子集都不是 $[a_n,b_n]$ 的开覆盖.

因此依闭区间套定理，知 $\{a_n\},\;\{b_n\}$ 均收敛于相同极限 $c$ ，且$c\in[a_n,b_n],\;n=1,2,3\cdots$ ，即

$a_n\le c\le b_n$ ，

又因为 $\mathcal F$ 是 $[a,b]$ 的开覆盖，则在其中有 $(\xi,\eta)$ ，使 $c\in(\xi,\eta)$ .依极限的保序性，对充分大的 $n$ ，有

$\xi\le a_n\le c\le b_n\le\eta$ .

这意味着 $\{(\xi,\eta)\}$ 覆盖了 $[a_n,b_n]$ ，这与 $\mathcal F$ 的任意有限子集都不是 $[a_n,b_n]$ 的开覆盖相矛盾. $\square$

聚点原理

定义 对于数集 $E$ ，若有实数 $x_0$ 满足对于 $\forall\delta>0$ ，满足 $\varnothing\ne(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap E\ne\{x_0\}$ （即 $((x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta))\cap E\ne\varnothing$ ），则称 $x_0$ 是 $E$ 的一个聚点.

聚点原理 任意有界无穷数集（无穷数集指该集合中有无穷个元素）必有聚点.

$4\Rightarrow5$ 的证明：

设一个无穷数集 $E$ ，由其有界性，则存在 $M>0$ ，使 $E\sub[-M,M]$ .采用反证法证明，若不然，则 $\forall x\in\R$ ， $x$ 都不是 $E$ 的聚点，因此 $\exists \delta_x>0,(x-\delta_x,x+\delta_x)\cap E=\{x\}$ . 全体 $x\in[-M,M]$ 对应的 $(x-\delta_x,x+\delta_x)$ 显然组成了 $[-M,M]$ 的一个开覆盖，因此在其中必有有限个开区间 $(x_1-\delta_{x_1},x_1+\delta_{x_1}),\cdots,(x_n-\delta_{x_n},x_n+\delta_{x_n})$ 也组成了 $[-M,M]$ 的开覆盖，而由于 $E\sub[-M,M]$ ，则有：

$\displaystyle E\sub\bigcup_{i=1}^n(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i})$ ，

这表明

$\displaystyle E=E\cap\left(\bigcup_{i=1}^n(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i})\right)=\{x_1,\cdots,x_n\}$ ，

这与 $E$ 是无穷数集矛盾. $\square$

该定理还有如下推论：

$\mathrm{Bolzano-Weierstrass}$ 定理 任意有界序列必有收敛的子列.

其中定义一个序列 $\{x_n\}$ 的子列为：设增函数 $f:\N_+\to\N_+$ ，则称 $\{x_{n_k}\}$ 是 $\{x_n\}$ 的一个子列，其中 $n_k=f(k)$ .

证明：

首先，为了便于表述，我们引入一个符号 $U_0(\eta,\varepsilon)=\{x\in\mathbb R:0<|x-\eta|<\varepsilon\}$ .

若该序列只由有限个数组成，则其必然有无穷多项等于同一个数，这无穷多项构成了一个每项都相同的子序列，此时该序列即为原序列的收敛子列，定理成立.

现设该序列 $\{x_n\}$ 由无穷个数组成，则由任意大的 $n>N$ 所对应的 $x_n$ 组成的序列 $\{x_n:n>N\}$ 也会由无穷个数组成，这是因为 $\{x_n:n\le N\}$ 是由有限个数（不超过 $N$ 个）组成的.

依聚点原理，必然存在一个实数 $a$ ，使得对于 $\delta_1=1$ ，必然 $\exists x_{\xi_1}\in\{x_n\}$ ，使 $x_{\xi_1}\in U_0(a,\delta_1)$ ；

对于 $\delta_2=\min\left\{\dfrac12,x_{\xi_1}\right\}$ ， $\exists x_{\xi_2}\in\{x_n:n>\xi_1\}$ ，使 $x_{\xi_2}\in U_0(a,\delta_2)$ ；

依此类推，对于 $\delta_n=\min\left\{\dfrac1n,x_{\xi_{n-1}}\right\}$ ， $\exists x_{\xi_n}\in\{x_n:n>\xi_{n-1}\}$ ，使 $x_{\xi_n}\in U_0(a,\delta_n)$ .

这样，就得到了 $\{x_n\}$ 的一个子列 $\{x_{\xi_n}\}$ ，且满足 $\left|x_{\xi_n}-a\right|<\dfrac1n$ ，由此推出 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{\xi_n}=a$ . $\square$

$\text{Cauchy}$ 收敛准则 | $\text{Archimedes}$ 性质

定义 若序列 $\{x_n\}$ 满足：对于 $\forall\varepsilon>0$ ， $\exists N\in\N_+$ ，只要正整数 $m,n>N$ ，就有 $|x_n-x_m|<\varepsilon$ ，则称序列 $\{x_n\}$ 是一个 $\text{Cauchy}$ 序列.

$\text{Cauchy}$ 收敛准则 序列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是它是一个 $\text{Cauchy}$ 序列.

$5\Rightarrow6$ 的证明：

必要性 倘若序列 $\{x_n\}$ 有极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=A$ ，则对 $\forall\varepsilon>0$ ， $\exists N\in\N_+$ ，只要正整数 $m,n>N$ ，就有：

$\left\{\begin{aligned}|x_n-A|&<\dfrac\varepsilon2;\\|x_m-A|&<\dfrac\varepsilon2.\end{aligned}\right.$

将上述两式相加得到：

$|x_n-x_m|\le|x_n-A|+|x_m-A|<\varepsilon.$

充分性 先证明 $\text{Cauchy}$ 序列 $\{x_n\}$ 是有界的. 取定 $\varepsilon_0=1$ ，则 $\exists N\in\N_+$ ，只要正整数 $n>N$ ，就有

$|x_n-x_{N+1}|<\varepsilon_0=1\:\Rightarrow\: x_{N+1}-1<x_n<x_{N+1}+1\:\Rightarrow\:|x_n|<\max\{|x_{N+1}+1|,|x_{N+1}-1|\}.$

于是对任意的 $n\in\N_+$ ，只要取 $M=\max\{|x_{N+1}+1|,|x_{N+1}-1|,|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_N|\}>0$ ，则必有 $|x_n|<M.$ 这说明 $\text{Cauchy}$ 序列 $\{x_n\}$ 是有界的.

接下来，由于序列 $\{x_n\}$ 有界，根据$\mathrm{Bolzano-Weierstrass}$ 定理，该序列必有一个收敛的子列 $\{x_{n_k}\}$ 以 $A$ 为极限.

由于 $\{x_n\}$ 是 $\text{Cauchy}$ 序列，对 $\forall\varepsilon>0$ ， $\exists N\in\N_+$ ，只要正整数 $m,n>N$ ，就有

$|x_m-x_n|<\dfrac\varepsilon2;$

而由 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=A$ ，又 $\exist K\in\N_+$ ，只要正整数 $(n_k\ge)k>K$ ，就有

$|x_{n_k}-A|<\dfrac\varepsilon2;$

现在取 $\nu=\max\{N,K\}$ ，这样一来，当 $k,n>\nu$ （相应的会有 $k>K$ 且 $n_k,n>N$）时，就会满足：

$|x_{n_k}-x_n|<\dfrac\varepsilon2;$

$|x_{n_k}-A|<\dfrac\varepsilon2;$

将上面两个式子相加，就得证了. $\square$

$\text{Archimedes}$ 性质 对于一个有序域 $\mathfrak A$ ，如果其中的任意两个正元素 $a,b\in\mathfrak A$ ，都存在一个正整数 $n$ ，使得

$a\cdot n> b,$

（事实上，容易看出若是上式成立，则满足这样条件的正整数 $n$ 不止一个，因为若是 $n$ 满足上述条件，则比它更大的正整数也将满足上式）

则称这个有序域是一个 $\text{Archimedes}$ 有序域，上述性质称为 $\text{Archimedes}$ 性质.

定理 $\R$ 具有 $\text{Archimedes}$ 性质（即是一个 $\text{Archimedes}$ 有序域）.

注：

这个性质描述了实数系不囿于上，也就是说，不存在 $\frak h\in\R$ 满足 $\frak h=\max\R$ .这是因为倘若不然，则这样的 $\frak h$ 将超过了所有正整数 $n=n\cdot1$ ，这就与 $\text{Archimedes}$ 性质相矛盾.

尽管这一定理似乎是显然的，我们还是从确界原理出发作证明.

证明：

应用反证法，倘若这一定理不真，那么存在 $a,b\in\R$ ，使得对于 $\forall n\in\N_+$ ，总有 $a\cdot n<b$ .那么集合

$\frak S=\{an:n\in\N_+\}$

就是一个非空（其中至少有元素 $a$ 属于之）有上界（ $b$ ）的数集，因而必然存在上确界 $\frak s=\sup\frak S$ ，这就意味着 $\frak s-a<\frak s$ 不是集合 $\frak S$ 的上界了. 即 $\frak S$ 中必然存在一个元素 $a\frak n\in\frak S$ （ $\frak n\in\N_+$ ），使得 $a\frak n>\frak s-a$ ，也即

$a(\frak n+1)>\frak s.$

但是 $a(\frak n+1)\in\frak S$ ，这与 $\frak s$ 是 $\frak S$ 的上界相矛盾. $\square$

现在，让我们来用 $\text{Cauchy}$ 收敛准则和 $\text{Archimedes}$ 性质来证明确界原理.

$6\Rightarrow1$ 的证明：

我们只证明非空有上界的数集 $S$ 具有上确界，对于非空有下界的情形可以通过对逐个元素取负转化为本情形.

尝试构造两个序列，其一（记为 $\{x_n\}$ ）的每一项全是 $S$ 中的元素，另一（记为 $\{y_n\}$ ）的每一项都是 $S$ 的上界，并设法让他们收敛于同一个数，这样， $x_n$ 和 $y_n$ 就分别从两个方向夹住上确界了. 倘若 $S$ 有最大元素，则其上确界就是其最大元素，现在假设 $S$ 无最大元素，这样一来， $S$ 中的任一元素都不是其上界.

我们先随便取两个数作为起点，由于 $S$ 非空，而其上界组成的集合 $T=\{x\in\R:x\ge s,\forall s\in S\}$ 也非空，任取 $x_1\in S$ ， $y_1\in T$ ，则 $x_n\ne y_n(\forall n\in\N_+)$ 现在我们来递推地构造后面的项：

命 $c_1=\dfrac{x_1+y_1}2\in(x_1,y_1)$ ，则分两种情况讨论：

倘若 $c_1$ 是 $S$ 的上界，那么可以把 $y_2$ 取得更小一些，命 $y_2=c_1$ ，而 $x_2=x_1$ ；

又若 $c_1$ 不是 $S$ 的上界，那么 $x_2$ 就可以取得大一些，命 $x_2=c_1$ ，而 $y_2=y_1$ .

接下来，可以重复上述过程，一般地来说，在对 $x_{n+1},y_{n+1}$ 下定义时，可以按照下述方法进行：命 $c_n=\dfrac{x_n+y_n}2\in(x_n,y_n)$ ，

倘若 $c_n$ 是 $S$ 的上界，命 $y_{n+1}=c_n$ ， $x_{n+1}=x_n$ ；

又若 $c_n$ 不是 $S$ 的上界，命 $x_{n+1}=c_n$ ， $y_{n+1}=y_n$ .

现在，我们得到了两个序列 $\{x_n\},\{y_n\}$ ，满足：

1. $\{x_n\}$ 单调上升，而 $\{y_n\}$ 单调下降（这一点根据序列的构造过程以及 $c_n\in(x_n,y_n)$ 这一点容易看出）；

2. $\{x_n\}\subseteq S$ ， $\{y_n\}\subseteq T$ ；

3. $y_n-x_n=\dfrac{y_{n-1}-x_{n-1}}2~\Rightarrow~y_n-x_n=\dfrac{y_1-x_1}{2^{n-1}}$ .

（这样一来，我们实际上是得到了一个闭区间套 $[x_n,y_n]$ ）

现在来用柯西收敛准则证明这两个序列都收敛于同一个值.

首先，按照定义，利用上面的 3 证明 $\{y_n-x_n\}$ 收敛于 $0\;$ .

对于 $\forall\varepsilon>0$ ，由归纳法容易证明 $2^n>n,\:\forall n\in\N_+$ . 这样一来，依实数系的 $\text{Archimedes}$ 性质，存在一个正整数 $N$ ，使得

$0<\dfrac{y_1-x_1}\varepsilon+1<N,$

因此对 $\forall n>N, n\in\N_+$ ，有

$0<\dfrac{y_1-x_1}\varepsilon+1<n.$

而 $2^{n-1}>n-1$ ，就有

$\dfrac{y_1-x_1}\varepsilon<2^{n-1},$

也就是

$0<y_n-x_n=\dfrac{y_1-x_1}{2^{n-1}}<\varepsilon.$

这就说明了 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0$ .

接下来，按照 $\text{Cauchy}$ 收敛准则，利用前面的 1 来证明 $\{x_n\}$ 收敛.

对于 $\forall\varepsilon>0$ ，依前文所证 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0$ ，则 $\exist N\in\N_+$ ，使得当正整数 $n>N$ 时，

$y_n-x_n<\varepsilon,$

而由这两个序列的单调性，当 $n\ge m>N$ ，时，有

$x_m\le x_n<y_m,$

因此

$0\le x_n-x_m<y_m-x_m<\varepsilon$

这说明 $\{x_n\}$ 是一个 $\text{Cauchy}$ 序列，因此必然收敛，记 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\xi$ .

这样一来，由于 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0$ ，可以证明 $\{y_n\}$ 也收敛于 $\xi$ . 对 $\forall\varepsilon>0$ ， $\exist N\in\N_+$ ，当正整数 $n>N$ 时，将同时成立：

$|x_n-\xi|<\dfrac\varepsilon2,$

$|x_n-y_n|<\dfrac\varepsilon2,$

将上述两式相加，就有

$|y_n-\xi|\le|y_n-x_n|+|x_n-\xi|<\varepsilon.$

现在，我们再来证明 $x_n\le\xi\le y_n,~\forall n\in\N_+$ （读者在阅读时可以暂时将这部分跳过，因为这是显然的，但这里为了保证证明过程的完整性，我们还是把这部分证明写了出来）.

我们只证明第一个不等号成立，第二个不等号是同理的.

用反证法，假如第一个不等号不成立，则 $\exist\nu\in\N_+$ ， $x_\nu>\xi$ . 依 $\{x_n\}$ 单调上升，则对 $\forall n>\nu,n\in\N_+$ ，都将有 $x_n\ge x_\nu>\xi$ ，进而取 $\varepsilon=x_\nu-\xi>0$ ，将有 $x_n-\xi>\varepsilon=x_\nu-\xi$ . 这就与 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\xi$ 相矛盾了.

最后，只要证明 $\xi$ 是集合 $S$ 的上确界即可.

我们可以分别利用 $x_n\to\xi$ 和 $y_n\to\xi~(n\to\infty)$ 来证明 $\xi$ 是上界且没有比 $\xi$ 更小的上界.

首先，倘若 $\xi$ 不是集合 $S$ 的上界，也就是有一个 $s\in S$ ，使得 $s>\xi$ . 这样，我们记 $\varepsilon_0=s-\xi>0$ ，则依 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=\xi$ ，必然 $\exist N\in\N_+$ ，当正整数 $n>N$ 时，有

$y_n-\xi<\varepsilon_0=s-\xi~\Rightarrow~y_n<s,$

然而后者与 $\{y_n\}\subseteq T=\{x\in\R:x是S的上界\}$ 相矛盾. 这说明 $\xi$ 必然是 $S$ 的上界

其次， 倘若 $\xi$ 不是集合 $S$ 的上确界，则说明存在一个 $\eta\in\R$ ，即使 $\eta$ 比 $\xi$ 小，却也满足 $\eta$ 是 $S$ 的上界. 记 $\varepsilon_1=\xi-\eta>0$ ，则 $\exist N\in\N_+$ ，当正整数 $n>N$ 时，有

$\xi-x_n<\varepsilon_1=\xi-\eta~\Rightarrow~x_n>\eta,$

然而 $x_n\in S$ ，这与 $\eta$ 是 $S$ 的上界相矛盾.

至此，我们就证明了存在这样的 $\xi$ ，它是 $S$ 的上确界. $\square$

$\text{Banach}$ 不动点定理

定义（不动点） 设函数 $f(x)$ ，若其定义域内有一 $x_0$ 满足 $x_0=f(x_0)$ ，称这一 $x$ 为函数 $f(x)$ 的一个不动点.

定义（压缩映照） 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$ ，倘若存在一个系数 $q\in[0,1)$ ，对于任意的 $x,y\in\R$ ，都有

$|f(x)-f(y)|\le q|x-y|,$

且 $f(x),\,f(y)\in[a,b]$ ，那么称 $f(x)$ 是一个压缩映照.

直观上讲，压缩映照把定义域中距离为 $|x-y|$ 的两个数 $x,\,y$ ，映射到值域上距离更近的两个数 $f(x),\,f(y)$ ——至于具体有多近？答为距离不会超过原来距离的 $q$ 倍.

对于一个压缩映照 $f(x)$ ，我们可以通过如下的方法求其不动点的近似值（稍后我们将会解释这样的方法为何可行，并证明这样的不动点是惟一的）. 以函数 $f(x)=\cos\,x,\;x\in[0,1]$ 为例（该函数确实是一个压缩映照，我们暂不证明这一点），从定义域 $[0,1]$ 中任取一个 $x_1$ 作为起点——比如我们取 $x_1=1$ . 接下来，我们按照递推式 $x_{n+1}=f(x_n)_{n\in\N_+}$ ，反复迭代（这里通常要用计算器）：

$x_1=\cos\,x_0=0.540302\cdots,$

$x_2=\cos\,x_1=0.857553\cdots,$

$x_3=\cos\,x_2=0.65429\cdots,$

$x_4=\cos\,x_3=0.79348\cdots,$

$\cdots$

反复进行这一过程，我们会发现 $x_n$ 会稳定于 $0.739085$ 左右，这就是我们想要的不动点的近似值.

为什么呢？我们假定如上定义的序列 $\underline{\{x_n\}}$ 收敛于 $\xi$ （稍后我们将证明只要 $f(x)$ 是压缩映照，按照上述方式定义的序列总是收敛的），那么，我们在递推式 $\underline{x_{n+1}=f(x_n)}$ 两边同时取极限，就有 $\underline{\xi=f(\xi)}$ . 因此随着我们迭代的次数 $n\to\infty$ ，所得的极限 $\xi$ 就是一个不动点.

现在，我们遗留了两个问题：

1. 对于压缩映照 $f(x)$ ，为何按照递推式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 定义的序列 $\{x_n\}$ 总是收敛的？

2. 为何压缩映照 $f(x)$ 的不动点是惟一的？

下面的 $\text{Banach}$ 不动点定理（也叫压缩映照原理）的证明过程证明了上述两点.

$\text{Banach}$ 不动点定理（压缩映照原理） 任意压缩映照 $f(x)$ 总有惟一不动点.

证明 设 $f(x)$ 定义域为 $[a,b]$ ，任取一个 $x_1\in[a,b]$ ，按照递推式 $x_{n+1}=f(x_n),\:n\in\N_+$ 定义序列 $\{x_n\}$ . 下面让我们来解决上述的问题 1. ，即证明序列 $\{x_n\}$ 收敛. 按照压缩映照的定义，对任意 $m,n\in\{x\in\N:x>1\}$ （不妨设 $m>n$ ）都有：

$|x_m-x_n|=|f(x_{m-1})-f(x_{n-1})|\le q|x_{m-1}-x_{n-1}|,$

反复应用上述不等式，有：

$|x_m-x_n|\le q^{n-1}|x_{m-n+1}-x_1|\le q^{n-1}|b-a|=d\,q^n,$

其中 $d=\dfrac{|b-a|}q$ .

现在我们来证明 $\{x_n\}$ 是 $\text{Cauchy}$ 序列，对于 $\forall\varepsilon>0$ ，取集合 $G=\left\{n\in\N:\left(\dfrac1q\right)^n>\max\left\{\dfrac d\varepsilon,1\right\}\right\}$ ，很显然集合 $G$ 非空（因其选取条件显然对充分大的正整数都成立），于是我们从 $G$ 中任取一个 $N\in G$ ，那么当正整数 $m>n>N$ 时，就有

$|x_m-x_n|\le d\,q^n<d\cdot\dfrac d\varepsilon=\varepsilon\,.$

因此 $\{x_n\}$ 是 $\text{Cauchy}$ 序列，设其极限为 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\xi$ . 则由前文绿色高亮下划线处的论证可知 $\xi$ 是 $f(x)$ 的一个不动点，下面我们来证明它是惟一不动点.

若另有 $c$ 是 $f(x)$ 的不动点，那么有

$|c-\xi|\le q|f(c)-f(\xi))=q|c-\xi|\,,$

因此 $c=\xi$ ，从而惟一性得证. $\square$

后记和习题

事实上，由于这六个表征实数系连续性的定理相互等价，我们可以从其中任意一个来推出另一个. 比如

$3\Rightarrow5$ 的证明：

设 $E$ 是一个有界无穷数集，设 $E\subseteq[a,b]$ ，则将 $[a,b]$ 二等分，其中必有一个区间，使得在其中有无穷多个 $E$ 中的元素，记这个区间为 $[a_1,b_1]$ ，以此类推地继续二等分下去，则得到一个闭区间套 $\{[a_n,b_n]\}$ ，其区间长度随 $n\to\infty$ 趋于 $0\,$ ，且后一个区间包含于前一个. 这样一来，依据闭区间套定理，这些区间有惟一公共点 $c\in[a_n,b_n],\:\forall n\in\N_+$ . 现在我们来证明这个 $c$ 就是 $E$ 的一个聚点. 对 $\forall\delta>0$ ，由于 $a_n\to c$ 且 $b_n\to c$ ，可知必然存在一个 $[a_\nu,b_\nu]$ 使得 $c-\delta<a_n\le c\le b_n<c+\delta$ ，即 $(c-\delta,c+\delta)\subseteq[a,b]$ ，这说明区间 $(c-\delta,c+\delta)$ 中有无穷多个 $E$ 中的元素，这就能证明 $c$ 是 $E$ 的一个聚点. $\square$