本文由AGRKxxf编写, 非YRLHappy.
我们有如下关于实数系连续性的定理：
确界原理（及与之等价的 \text{Dedekind} 分割定理）；
单调有界定理；
闭区间套定理；
有限覆盖定理；
聚点原理（及其推论\mathrm{Bolzano-Weierstrass} 定理）；
\text{Cauchy} 收敛准则（及实数系的 \text{Archimedes} 性质）.
接下来，我们将依次介绍这些定理，并给出其等价性的证明.
注：本文中的“数集”一词均指由一族实数组成的集合，即 \R 的子集，记号 A\sub B 表示前者是后者的真子集，本文中的“单调性”指的是“不严格的单调性”，因此 f(x)\equiv1 也是单调上升的函数.
本文参考了各大《数学分析》教材.
确界原理
定义 对于 \mathbb R 的子集 E ，若存在实数 M 满足 \forall x\in E,\;x\le M ，则称集合 E 有上界 M ；下界的定义同理.若一个集合既有上界又有下界，则称该集合有界.
定义 称集合 E 的全体上界中的最小者为 E 的上确界（记为 \sup E ），下确界（记为 \inf E ）的定义同理.
确界原理 对于任意非空有上（下）界数集 E ，其必有上（下）确界.
下给出与之等价的 \text{Dedekind} 分割定理，在此之前，先来介绍分划的定义.
定义 对于一个非空且其元素间有大小关系（大于、小于或等于三者仅居其一）的集合 E ，若集合 S\cup T=E ，满足下述条件：
S\cap T=\varnothing ；
对 \forall s\in S,\;t\in T ，总有 s<t ，且 \exist \sigma\in S 使 s<\sigma （即 S 中的元素 总比 T 中的小，且 S 中没有最大元素）；
我们就称这样的集合 S,T 构成了 E 的一个分划 (S|T)_E .
容易看出，对于 \mathbb Q 的任意分划 (S|T)_{\mathbb Q} ，若 T 中有最小元素，则 (S|T)_{\mathbb Q} 实际上和有理数一一对应；于是类似地将 T 中没有最小元素的分划 (S|T)_{\mathbb Q} 定义为无理数，并规定其大小关系和运算规则等等（碍于篇幅有限，此处从略），记 \mathbb R=\{\mathbb Q的分划(S|T)_{\mathbb Q}\} 为全体实数组成的集合.
\text{Dedekind} 分割定理 (1') 对于 \mathbb R 的任意分划 (S|T)_\R ， T 中总是有最小元素.
证明：
先证明 1'\Rightarrow1 ，这里只给出有上界的情况下的证明，有下界的情况是类似的. 设 E 是一个非空有上界的数集，不妨设其无最大者，否则取其最大者 M=\max E 即满足 M=\sup E ，于是在这样的假设下，其上界组成一个非空集合 T ，取 S=\{\sigma\in\mathbb R:\sigma\notin T\} ，显然满足 S\cup T=\R ， S\cap T=\varnothing . 现证明如下几点性质：
S 中没有最大者；
对 \forall s\in S,\;t\in T ，总有 s<t .
这二者可以容易地同时证明出，对于任意 \underline{\tau\in T} ， \underline{\varepsilon\in E} ，必有 \varepsilon\le\tau ，更进一步地，可以证明 \underline{\varepsilon<\tau} . 事实上，若不然，则 \varepsilon\in T=\{\tau:\tau\ge\Epsilon,\forall\Epsilon\in E\} ，这就与 E 中无最大者相矛盾. 进而由 S\cup T=\R 可知 E\sub S 必然成立. 接着，若任取一个 s\in S ，则必然有一个 \varepsilon\in E ，使 \varepsilon>s 成立. 进而由 E\sub S 知 1 成立，再由本段的下划线结论可知 2 成立. 综上，集合 S 和 T 构成了 \R 的一个分划. 依 \text{Dedekind} 分割定理 (1') 知，存在 \Tau=\min T 使 \Tau 成为 E 的上确界.
接下来，我们证明 1\Rightarrow1' ，设集合 S 和 T 构成 \R 的一个分划，现在证明 T 有最小者. 由分划的定义，我们知道 T 中的所有元素都是 S 的上界. 更进一步还可断言 S 没有其它的（不在 T 中的）上界了. （事实上，若不然，则这一上界 s 既然不属于 T ，那么必然属于 S ，这与 S 中的元素无最大者相矛盾）依确界原理， S 有最小上界 \varsigma=\min T . \square
单调有界定理
单调有界定理 若序列 \{x_n\} 单调上升（下降），且有上（下）界，则序列 \{x_n\} 收敛.
其中序列定义为：设一个函数 f:\N_+\to\R ，称 \{x_n=f(n):n=1,2,3,\cdots\} 是一个序列. 值得注意的是，尽管都记作 \{x_n\} ，但集合 \{x_n\} 与序列 \{x_n\} 有差别，后者是按照 n\in\N_+ 从小到大的顺序排列的，且允许有重复项. 序列的单调性定义为相应的函数 f(n) 的单调性，序列的有界性定义为相应的函数 f(n) 的有界性.
而若存在一个实数 A ，使得序列 \{x_n\} 满足对于任意 \varepsilon>0 ， \exists N\in\N_+ ，只要正整数 n>N ，就有 |x_n-A|<\varepsilon ，则称序列 \{x_n\} 收敛，以 A 为极限；反之称序列 \{x_n\} 发散.
1\Rightarrow2 的证明：
这里仅证明序列 \{x_n\} 单调上升有上界的情形，对于单调下降有下界的情形，证明是类似的.
由于序列 \{x_n\} 单调上升，可得对任给的正整数 N ，当 n>N 时有
x_N\le x_n.
由于 \{x_n\} 有上界，则数集 \{x_n\} 有上确界，记为 M=\sup E ，由于 M 是 \{x_n\} 全体上界中的最小者，因此对于 \forall\varepsilon>0 ， M-\varepsilon 均非 \{x_n\} 的上界，即 \exists N\in\N_+,x_N>M-\varepsilon ，因此当 n>N 时，有
M-\varepsilon<x_N\le x_n\le M<M+\varepsilon，
也即
|x_n-M|<\varepsilon.
这表明 \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=M=\sup E 成立. \square
闭区间套定理
设一列闭区间 \{[a_n,b_n]\} 满足[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n],\;n=1,2,3,\cdots ，则 \{a_n\},\;\{b_n\} 均收敛（分别记其极限为 a,\;b ），且有
\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=\{x:a\le x\le b\} .
特别当 a=b 也即 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0 时，有
\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=a=b ，
即存在唯一正实数 \xi ，使 \xi\in[a_n,b_n],\;n=1,2,3,\cdots . 此即闭区间套定理.
2\Rightarrow3 的证明：
由 [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n],\;n=1,2,3,\cdots ，知 \{a_n\} 单调上升， \{b_n\} 单调下降，且 a_n<b_n ，这表明 \{a_n\} 单调上升有上界（ b_1 即其上界之一）， \{b_n\} 单调下降有下界（ a_1 即其下界之一），因此二者均收敛，分别记其极限为 a,\;b .
依极限的保序性有
a_n\le a=\sup\{a_n\}\le\inf\{b_n\}=b\le b_n .
这表明 \forall a\le x\le b,\;a_n\le a\le x\le b\le b_n\;(n\in\N_+) .
若另有 a_n\le\xi\le b_n,\;(n\in\N_+) ，则 a\le\xi\le b . 这就证明了
\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=\{x:a\le x\le b\} .
若另给条件 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0 ，则有 a=b ，即
\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=a=b . \square
有限覆盖定理
定义 对于数集 E ，若有一族开区间 \{(a_n,b_n)\}_{n\in N} 满足
\displaystyle E\subseteq\bigcup_{n\in N}(a_n,b_n)
（其中 N 是一个指标集， N\subseteq\N ），则称 \{(a_n,b_n)\}_{n\in N} 是 E 的一个开覆盖. 若 \{(a_n,b_n)\}_{n\in N} 还是一个有限集合（即其中只有有限个元素），则称之为 E 的有限开覆盖.
有限覆盖定理 若 [a,b] 有开覆盖 \mathcal F=\{(\xi_n,\eta_n)\}_{n\in N} ，则其中必然存在有限个开区间组成的集合，使它亦为 [a,b] 的开覆盖，即存在 [a,b] 的有限开覆盖 \mathcal F' =\{(\xi_1,\eta_1),\cdots,(\xi_n,\eta_n)\} 使 \mathcal F'\sub\{(\xi_n,\eta_n)\}_{n\in N} .
3\Rightarrow4 的证明：
用反证法证明，倘若不然，对任意 \mathcal F 的有限子集 \mathcal F' ，将 [a,b] 二等分成两个闭区间，则其中必然至少有一者不能被 \mathcal F' 覆盖，记之为 [a_1,b_1] ；再继续将 [a_1,b_1] 二等分，则其中必然至少有一者不能被 \mathcal F' 覆盖，记之为 [a_2,b_2] ……以此类推，我们就得到了一列闭区间 \{[a_n,b_n]\} ，满足：
[a_n,b_n]\sub[a_{n-1},b_{n-1}],\;\forall n\in\N_+ ；
b_n-a_n\to0\;(n\to\infty) （因为 [a_n,b_n] 是由 [a,b] 经过若干次二等分得到的）；
\mathcal F 的任意有限子集都不是 [a_n,b_n] 的开覆盖.
因此依闭区间套定理，知 \{a_n\},\;\{b_n\} 均收敛于相同极限 c ，且c\in[a_n,b_n],\;n=1,2,3\cdots ，即
a_n\le c\le b_n ，
又因为 \mathcal F 是 [a,b] 的开覆盖，则在其中有 (\xi,\eta) ，使 c\in(\xi,\eta) .依极限的保序性，对充分大的 n ，有
\xi\le a_n\le c\le b_n\le\eta .
这意味着 \{(\xi,\eta)\} 覆盖了 [a_n,b_n] ，这与 \mathcal F 的任意有限子集都不是 [a_n,b_n] 的开覆盖相矛盾. \square
聚点原理
定义 对于数集 E ，若有实数 x_0 满足对于 \forall\delta>0 ，满足 \varnothing\ne(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap E\ne\{x_0\} （即 ((x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta))\cap E\ne\varnothing ），则称 x_0 是 E 的一个聚点.
聚点原理 任意有界无穷数集（无穷数集指该集合中有无穷个元素）必有聚点.
4\Rightarrow5 的证明：
设一个无穷数集 E ，由其有界性，则存在 M>0 ，使 E\sub[-M,M] .采用反证法证明，若不然，则 \forall x\in\R ， x 都不是 E 的聚点，因此 \exists \delta_x>0,(x-\delta_x,x+\delta_x)\cap E=\{x\} . 全体 x\in[-M,M] 对应的 (x-\delta_x,x+\delta_x) 显然组成了 [-M,M] 的一个开覆盖，因此在其中必有有限个开区间 (x_1-\delta_{x_1},x_1+\delta_{x_1}),\cdots,(x_n-\delta_{x_n},x_n+\delta_{x_n}) 也组成了 [-M,M] 的开覆盖，而由于 E\sub[-M,M] ，则有：
\displaystyle E\sub\bigcup_{i=1}^n(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i}) ，
这表明
\displaystyle E=E\cap\left(\bigcup_{i=1}^n(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i})\right)=\{x_1,\cdots,x_n\} ，
这与 E 是无穷数集矛盾. \square
该定理还有如下推论：
\mathrm{Bolzano-Weierstrass} 定理 任意有界序列必有收敛的子列.
其中定义一个序列 \{x_n\} 的子列为：设增函数 f:\N_+\to\N_+ ，则称 \{x_{n_k}\} 是 \{x_n\} 的一个子列，其中 n_k=f(k) .
证明：
首先，为了便于表述，我们引入一个符号 U_0(\eta,\varepsilon)=\{x\in\mathbb R:0<|x-\eta|<\varepsilon\} .
若该序列只由有限个数组成，则其必然有无穷多项等于同一个数，这无穷多项构成了一个每项都相同的子序列，此时该序列即为原序列的收敛子列，定理成立.
现设该序列 \{x_n\} 由无穷个数组成，则由任意大的 n>N 所对应的 x_n 组成的序列 \{x_n:n>N\} 也会由无穷个数组成，这是因为 \{x_n:n\le N\} 是由有限个数（不超过 N 个）组成的.
依聚点原理，必然存在一个实数 a ，使得对于 \delta_1=1 ，必然 \exists x_{\xi_1}\in\{x_n\} ，使 x_{\xi_1}\in U_0(a,\delta_1) ；
对于 \delta_2=\min\left\{\dfrac12,x_{\xi_1}\right\} ， \exists x_{\xi_2}\in\{x_n:n>\xi_1\} ，使 x_{\xi_2}\in U_0(a,\delta_2) ；
依此类推，对于 \delta_n=\min\left\{\dfrac1n,x_{\xi_{n-1}}\right\} ， \exists x_{\xi_n}\in\{x_n:n>\xi_{n-1}\} ，使 x_{\xi_n}\in U_0(a,\delta_n) .
这样，就得到了 \{x_n\} 的一个子列 \{x_{\xi_n}\} ，且满足 \left|x_{\xi_n}-a\right|<\dfrac1n ，由此推出 \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{\xi_n}=a . \square
\text{Cauchy} 收敛准则 | \text{Archimedes} 性质
定义 若序列 \{x_n\} 满足：对于 \forall\varepsilon>0 ， \exists N\in\N_+ ，只要正整数 m,n>N ，就有 |x_n-x_m|<\varepsilon ，则称序列 \{x_n\} 是一个 \text{Cauchy} 序列.
\text{Cauchy} 收敛准则 序列 \{x_n\} 收敛的充分必要条件是它是一个 \text{Cauchy} 序列.
5\Rightarrow6 的证明：
必要性 倘若序列 \{x_n\} 有极限 \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=A ，则对 \forall\varepsilon>0 ， \exists N\in\N_+ ，只要正整数 m,n>N ，就有：
\left\{\begin{aligned}|x_n-A|&<\dfrac\varepsilon2;\\|x_m-A|&<\dfrac\varepsilon2.\end{aligned}\right.
将上述两式相加得到：
|x_n-x_m|\le|x_n-A|+|x_m-A|<\varepsilon.
充分性 先证明 \text{Cauchy} 序列 \{x_n\} 是有界的. 取定 \varepsilon_0=1 ，则 \exists N\in\N_+ ，只要正整数 n>N ，就有
|x_n-x_{N+1}|<\varepsilon_0=1\:\Rightarrow\: x_{N+1}-1<x_n<x_{N+1}+1\:\Rightarrow\:|x_n|<\max\{|x_{N+1}+1|,|x_{N+1}-1|\}.
于是对任意的 n\in\N_+ ，只要取 M=\max\{|x_{N+1}+1|,|x_{N+1}-1|,|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_N|\}>0 ，则必有 |x_n|<M. 这说明 \text{Cauchy} 序列 \{x_n\} 是有界的.
接下来，由于序列 \{x_n\} 有界，根据\mathrm{Bolzano-Weierstrass} 定理，该序列必有一个收敛的子列 \{x_{n_k}\} 以 A 为极限.
由于 \{x_n\} 是 \text{Cauchy} 序列，对 \forall\varepsilon>0 ， \exists N\in\N_+ ，只要正整数 m,n>N ，就有
|x_m-x_n|<\dfrac\varepsilon2;
而由 \displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=A ，又 \exist K\in\N_+ ，只要正整数 (n_k\ge)k>K ，就有
|x_{n_k}-A|<\dfrac\varepsilon2;
现在取 \nu=\max\{N,K\} ，这样一来，当 k,n>\nu （相应的会有 k>K 且 n_k,n>N）时，就会满足：
|x_{n_k}-x_n|<\dfrac\varepsilon2;
|x_{n_k}-A|<\dfrac\varepsilon2;
将上面两个式子相加，就得证了. \square
\text{Archimedes} 性质 对于一个有序域 \mathfrak A ，如果其中的任意两个正元素 a,b\in\mathfrak A ，都存在一个正整数 n ，使得
a\cdot n> b,
（事实上，容易看出若是上式成立，则满足这样条件的正整数 n 不止一个，因为若是 n 满足上述条件，则比它更大的正整数也将满足上式）
则称这个有序域是一个 \text{Archimedes} 有序域，上述性质称为 \text{Archimedes} 性质.
定理 \R 具有 \text{Archimedes} 性质（即是一个 \text{Archimedes} 有序域）.
注：
这个性质描述了实数系不囿于上，也就是说，不存在 \frak h\in\R 满足 \frak h=\max\R .这是因为倘若不然，则这样的 \frak h 将超过了所有正整数 n=n\cdot1 ，这就与 \text{Archimedes} 性质相矛盾.
尽管这一定理似乎是显然的，我们还是从确界原理出发作证明.
证明：
应用反证法，倘若这一定理不真，那么存在 a,b\in\R ，使得对于 \forall n\in\N_+ ，总有 a\cdot n<b .那么集合
\frak S=\{an:n\in\N_+\}
就是一个非空（其中至少有元素 a 属于之）有上界（ b ）的数集，因而必然存在上确界 \frak s=\sup\frak S ，这就意味着 \frak s-a<\frak s 不是集合 \frak S 的上界了. 即 \frak S 中必然存在一个元素 a\frak n\in\frak S （ \frak n\in\N_+ ），使得 a\frak n>\frak s-a ，也即
a(\frak n+1)>\frak s.
但是 a(\frak n+1)\in\frak S ，这与 \frak s 是 \frak S 的上界相矛盾. \square
现在，让我们来用 \text{Cauchy} 收敛准则和 \text{Archimedes} 性质来证明确界原理.
6\Rightarrow1 的证明：
我们只证明非空有上界的数集 S 具有上确界，对于非空有下界的情形可以通过对逐个元素取负转化为本情形.
尝试构造两个序列，其一（记为 \{x_n\} ）的每一项全是 S 中的元素，另一（记为 \{y_n\} ）的每一项都是 S 的上界，并设法让他们收敛于同一个数，这样， x_n 和 y_n 就分别从两个方向夹住上确界了. 倘若 S 有最大元素，则其上确界就是其最大元素，现在假设 S 无最大元素，这样一来， S 中的任一元素都不是其上界.
我们先随便取两个数作为起点，由于 S 非空，而其上界组成的集合 T=\{x\in\R:x\ge s,\forall s\in S\} 也非空，任取 x_1\in S ， y_1\in T ，则 x_n\ne y_n(\forall n\in\N_+) 现在我们来递推地构造后面的项：
命 c_1=\dfrac{x_1+y_1}2\in(x_1,y_1) ，则分两种情况讨论：
倘若 c_1 是 S 的上界，那么可以把 y_2 取得更小一些，命 y_2=c_1 ，而 x_2=x_1 ；
又若 c_1 不是 S 的上界，那么 x_2 就可以取得大一些，命 x_2=c_1 ，而 y_2=y_1 .
接下来，可以重复上述过程，一般地来说，在对 x_{n+1},y_{n+1} 下定义时，可以按照下述方法进行：命 c_n=\dfrac{x_n+y_n}2\in(x_n,y_n) ，
倘若 c_n 是 S 的上界，命 y_{n+1}=c_n ， x_{n+1}=x_n ；
又若 c_n 不是 S 的上界，命 x_{n+1}=c_n ， y_{n+1}=y_n .
现在，我们得到了两个序列 \{x_n\},\{y_n\} ，满足：
\{x_n\} 单调上升，而 \{y_n\} 单调下降（这一点根据序列的构造过程以及 c_n\in(x_n,y_n) 这一点容易看出）；
\{x_n\}\subseteq S ， \{y_n\}\subseteq T ；
y_n-x_n=\dfrac{y_{n-1}-x_{n-1}}2~\Rightarrow~y_n-x_n=\dfrac{y_1-x_1}{2^{n-1}} .
（这样一来，我们实际上是得到了一个闭区间套 [x_n,y_n] ）
现在来用柯西收敛准则证明这两个序列都收敛于同一个值.
首先，按照定义，利用上面的 3 证明 \{y_n-x_n\} 收敛于 .
对于 \forall\varepsilon>0 ，由归纳法容易证明 2^n>n,\:\forall n\in\N_+ . 这样一来，依实数系的 \text{Archimedes} 性质，存在一个正整数 N ，使得
0<\dfrac{y_1-x_1}\varepsilon+1<N,
因此对 \forall n>N, n\in\N_+ ，有
0<\dfrac{y_1-x_1}\varepsilon+1<n.
而 2^{n-1}>n-1 ，就有
\dfrac{y_1-x_1}\varepsilon<2^{n-1},
也就是
0<y_n-x_n=\dfrac{y_1-x_1}{2^{n-1}}<\varepsilon.
这就说明了 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0 .
接下来，按照 \text{Cauchy} 收敛准则，利用前面的 1 来证明 \{x_n\} 收敛.
对于 \forall\varepsilon>0 ，依前文所证 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0 ，则 \exist N\in\N_+ ，使得当正整数 n>N 时，
y_n-x_n<\varepsilon,
而由这两个序列的单调性，当 n\ge m>N ，时，有
x_m\le x_n<y_m,
因此
0\le x_n-x_m<y_m-x_m<\varepsilon
这说明 \{x_n\} 是一个 \text{Cauchy} 序列，因此必然收敛，记 \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\xi .
这样一来，由于 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0 ，可以证明 \{y_n\} 也收敛于 \xi . 对 \forall\varepsilon>0 ， \exist N\in\N_+ ，当正整数 n>N 时，将同时成立：
|x_n-\xi|<\dfrac\varepsilon2,
|x_n-y_n|<\dfrac\varepsilon2,
将上述两式相加，就有
|y_n-\xi|\le|y_n-x_n|+|x_n-\xi|<\varepsilon.
现在，我们再来证明 x_n\le\xi\le y_n,~\forall n\in\N_+ （读者在阅读时可以暂时将这部分跳过，因为这是显然的，但这里为了保证证明过程的完整性，我们还是把这部分证明写了出来）.
我们只证明第一个不等号成立，第二个不等号是同理的.
用反证法，假如第一个不等号不成立，则 \exist\nu\in\N_+ ， x_\nu>\xi . 依 \{x_n\} 单调上升，则对 \forall n>\nu,n\in\N_+ ，都将有 x_n\ge x_\nu>\xi ，进而取 \varepsilon=x_\nu-\xi>0 ，将有 x_n-\xi>\varepsilon=x_\nu-\xi . 这就与 \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\xi 相矛盾了.
最后，只要证明 \xi 是集合 S 的上确界即可.
我们可以分别利用 x_n\to\xi 和 y_n\to\xi~(n\to\infty) 来证明 \xi 是上界且没有比 \xi 更小的上界.
首先，倘若 \xi 不是集合 S 的上界，也就是有一个 s\in S ，使得 s>\xi . 这样，我们记 \varepsilon_0=s-\xi>0 ，则依 \displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=\xi ，必然 \exist N\in\N_+ ，当正整数 n>N 时，有
y_n-\xi<\varepsilon_0=s-\xi~\Rightarrow~y_n<s,
然而后者与 \{y_n\}\subseteq T=\{x\in\R:x是S的上界\} 相矛盾. 这说明 \xi 必然是 S 的上界
其次， 倘若 \xi 不是集合 S 的上确界，则说明存在一个 \eta\in\R ，即使 \eta 比 \xi 小，却也满足 \eta 是 S 的上界. 记 \varepsilon_1=\xi-\eta>0 ，则 \exist N\in\N_+ ，当正整数 n>N 时，有
\xi-x_n<\varepsilon_1=\xi-\eta~\Rightarrow~x_n>\eta,
然而 x_n\in S ，这与 \eta 是 S 的上界相矛盾.
至此，我们就证明了存在这样的 \xi ，它是 S 的上确界. \square
后记和习题
事实上，由于这六个表征实数系连续性的定理相互等价，我们可以从其中任意一个来推出另一个. 比如
3\Rightarrow5 的证明：
设 E 是一个有界无穷数集，设 E\subseteq[a,b] ，则将 [a,b] 二等分，其中必有一个区间，使得在其中有无穷多个 E 中的元素，记这个区间为 [a_1,b_1] ，以此类推地继续二等分下去，则得到一个闭区间套 \{[a_n,b_n]\} ，其区间长度随 n\to\infty 趋于 0\, ，且后一个区间包含于前一个. 这样一来，依据闭区间套定理，这些区间有惟一公共点 c\in[a_n,b_n],\:\forall n\in\N_+ . 现在我们来证明这个 c 就是 E 的一个聚点. 对 \forall\delta>0 ，由于 a_n\to c 且 b_n\to c ，可知必然存在一个 [a_\nu,b_\nu] 使得 c-\delta<a_n\le c\le b_n<c+\delta ，即 (c-\delta,c+\delta)\subseteq[a,b] ，这说明区间 (c-\delta,c+\delta) 中有无穷多个 E 中的元素，这就能证明 c 是 E 的一个聚点. \square
现在，类似地，我们将如下几项题目留给读者作为习题.
证明：
4\Rightarrow3
4\Rightarrow2
5\Rightarrow4
5\Rightarrow 2
若定义域为 [a,b] 的函数 f(x) 满足：对于任意 x\in[a,b] ，存在 M_x,\delta_x>0 ，使得对 \forall\frak x\in(x-\delta,x+\delta) ，有 |f(\frak x)|<M_x . 试用有限覆盖定理证明 \exist M>0 使得对任意 x\in[a,b] ，满足 |f(x)|<M .
证明只由有限个元素组成的数集必然没有聚点，而任意闭区间中的每一个元素都是该闭区间的聚点.
设 f(x) 定义域为 [a,b] ， f(a)<0<f(b) ，且满足对于任意 x\in[a,b] ，只要 f(x)\ne0 ，就存在一个 \delta>0 ，使得对 \forall \frak x\in(x-\delta_x,x+\delta_x)\cap [a,b] ，满足 f(x)f(\frak x)>0 . 试用有限覆盖定理证明：存在一个 \xi\in[a,b] ，使 f(\xi)=0 .